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L’extension de corps correspondante est K(X) ⊂ K(Z), o` u X est envoy´e sur Z 2 ; elle est de degr´e 2 (ins´eparable en caract´eristique 2). ). 14. Pour toute vari´et´e irr´eductible X de dimension n, il existe une application r´eguli`ere dominante X → Pn ` a fibres finies. ´monstration. On peut supposer X ⊂ PN projective ; on proc`ede par De r´ecurrence sur la codimension c = N −n de X. Si c = 0, c’est fini ; si c > 0, on choisit un point x hors de X et on projette depuis x sur un hyperplan H disjoint de x.

3. Il est important de remarquer que la « r´eciproque » du th´eor`eme est fausse : il est inexact que toute sous-vari´et´e irr´eductible de codimension r dans Pn puisse ˆetre d´efinie par r ´equations. Il en faut parfois plus. 10. Les hypersurfaces de An ou de Pn sont les sous-vari´et´es de codimension pure 1. ´monstration. a) entraˆıne que toute composante d’une De hypersurface de An ou de Pn (d’une sous-varie´et´e d´efinie par une ´equation) est de dimension ≥ n − 1. a). Pour la r´eciproque, il suffit de montrer qu’une sous-vari´et´e irr´eductible X de Pn de codimension 1 est d´efinie par une ´equation.

Le a) montre n ≤ dim X ; si n = +∞, c’est fini. Sinon, supposons que l’on ait une chaˆıne F0 ··· Fn+1 de ferm´es irr´eductibles de X. Le ferm´e irr´eductible Fn+1 est de dimension ≥ n + 1 ; c’est la r´eunion des ferm´es Xi ∩ Fn+1 , donc il est ´egal `a l’un d’eux et est contenu dans un Xi . Cela contredit a). 3. Pour qu’une vari´et´e alg´ebrique soit de dimension 0, il faut et il suffit qu’elle consiste en un nombre fini non nul de points. ´monstration. Soit V une vari´et´e de dimension 0 ; tout ferm´e irr´eductible De contenant un point est r´eduit `a ce point, donc les composantes irr´eductibles de V sont des points.

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by Ronald
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